Как найти уравнение касательной к поверхности

Как найти уравнение касательной к поверхности


Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Назначение. Онлайн-калькулятор предназначен для нахождения уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности. Решение оформляется в формате Word (см. пример ). Если необходимо найти уравнение касательной к кривой ( y = f(x) ), то необходимо использовать данный сервис.
  • Решение онлайн
  • Видеоинструкция
Правила ввода функций:
  1. Все математические операции выражаются через общепринятые символы ( +,-,*,/,^ ). Например, x 2 +xy, записываем как x^2+x*y.
  2. Корень квадратный: sqrt. Например, sqrt(x^2+1/2*y^2), arcsin(x) = asin(x). e x = exp(x). число π = pi.

Касательной плоскостью к поверхностиσ в её точке М0 называется плоскость, в которой лежат касательные ко всем кривым, проведённым на поверхности σ через точку М0.
Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением z = f(x,y).

в точке M0 (x0 ,y0 ,z0 ) имеет вид:


Вектор называется вектором нормали к поверхности σ в точке М0. Вектор нормали перпендикулярен касательной плоскости.
Нормалью к поверхностиσ в точке М0 называется прямая, проходящая через эту точку и имеющая направление вектора N.
Канонические уравнения нормали к поверхности, заданной уравнением z = f(x,y). в точке M0 (x0 ,y0 ,z0 ), где z0 = f(x0 ,y0 ), имеют вид:

Пример №1. Поверхность задана уравнением x 3 +5y. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M0 (0;1).
Решение. Запишем уравнения касательной в общем виде: z - z0 = f'x (x0 ,y0 ,z0 )(x - x0 ) + f'y (x0 ,y0 ,z0 )(y - y0 )
По условию задачи x0 = 0. y0 = 1. тогда z0 = 5
Найдем частные производные функции z = x^3+5*y.


f'x (x,y) = (x 3 +5•y)'x = 3•x 2
f'x (x,y) = (x 3 +5•y)'y = 5
В точке М0 (0,1) значения частных производных:
f'x (0;1) = 0
f'y (0;1) = 5
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М0. z - 5 = 0(x - 0) + 5(y - 1) или -5•y+z = 0

Пример №2. Поверхность задана неявным образом y 2 -1/2*x 3 -8z. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M0 (1;0;1).
Решение. Находим частные производные функции. Поскольку функция задана в неявном виде, то производные ищем по формуле:

Для нашей функции:

Тогда:

В точке М0 (1,0,1) значения частных производных:
f'x (1;0;1) = -3 /16
f'y (1;0;1) = 0
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М0. z - 1 = -3 /16 (x - 1) + 0(y - 0) или 3 /16 •x+z- 19 /16 = 0



касательная плоскости к поверхности,нормаль плоскости к поверхности:Построение касательной плоскости и нормали к поверхности в режиме онлайн бесплатно. Полученное решение оформлено в формате WORD

как найти уравнение касательной к поверхности

Как найти уравнение касательной к поверхности 3 10 10